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Il problema di Raymond Merrill Smullyan: Bugiardi e Mentitori.
By Admin (from 01/07/2010 @ 09:19:01, in it - Scienze e Societa, read 3099 times)

Conoscerete sicuramente il libro di Smullyan di cui probabilmente vi state chiedendo quale sia il titolo, popolato di veritieri assoluti, bugiardi assoluti e veritieri (o bugiardi) alternati. Se non lo conoscete, chiedetevi quale titolo possa avere, e sarete a buon punto della ricerca. Ebbene, noi siamo convinti che non si sia pensato abbastanza al problema che si trova alla base di quel libro e che probabilmente tutti conoscete:

Un logico in vacanza in Africa sa di trovarsi in una zona abitata dalle tribù dei Veritieri e dei Bugiardi: i membri della prima tribù dicono sempre la verità, i membri della seconda sempre il falso. Durante una passeggiata, arriva a un bivio ove staziona un indigeno, e deve informarsi su quale delle due strade porti al villaggio. Non ha modo di capire se il nativo sia un Veritiero o un Bugiardo: il logico ci pensa un attimo, e quindi pone una sola domanda; e dalla risposta sa che strada prendere. Che domanda pone?

Esistono due scuole di pensiero in merito alla risposta: prima, quella che ci piace meno.
La scelta della porta in LabryinthUna domanda potrebbe essere: “Se ti chiedessi se questa strada porta al villaggio, risponderesti ’sì’?” mentre il logico indica una strada ben precisa: anche il mentitore è costretto, a questa domanda, a dare la risposta giusta, come si vede dai quattro casi:

  • MENTITORE, strada CORRETTA: alla sottodomanda “la strada porta al villaggio?” dovrebbe rispondere “no”, e quindi la risposta alla domanda in oggetto (dovendo mentire) sarebbe “sì”
  • MENTITORE, strada ERRATA: alla sottodomanda “la strada porta al villaggio?” dovrebbe rispondere “sì”, e quindi la risposta alla domanda in oggetto (dovendo mentire) sarebbe “no”.
  • VERITIERO, strada CORRETTA: alla sottodomanda “la strada porta al villaggio?” dovrebbe rispondere “sì”, e quindi la risposta alla domanda in oggetto (dovendo dire la verità) sarebbe “sì”.
  • VERITIERO, strada ERRATA: alla sottodomanda “la strada porta al villaggio?” dovrebbe rispondere “no”, e quindi la risposta alla domanda in oggetto (dovendo dire la verità) sarebbe “no”.

Insomma, si riesce a costringere il povero mentitore a dire la verità! La cosa ci è sempre sembrata non rispettosa dell’identità culturale dei Mentitori, e quindi preferiamo ampiamente la seconda scuola di pensiero, anche perché, in una sua versione, richiede molta meno fatica da parte del logico (non deve indicare nulla) e non porta l’indigeno a drammi esistenziali relativi al probabile mancato rispetto della Legge Fondamentale della sua tribù.

Secondo alcuni, la domanda potrebbe essere: “Se io chiedessi a un membro dell’altra tribù quale strada porta al villaggio, quale indicherebbe?”

Si verifica facilmente che sia il Veritiero sia il Bugiardo indicherebbero entrambi con piena soddisfazione della loro weltanschauung la strada sbagliata e, forte di questa certezza, il logico potrebbe prendere la strada giusta.

Ora, noi non sappiamo a quale scuola di pensiero apparteniate, ma un paio di filosofi hanno posto potentissime critiche alla prima:

È triste vedere che la nascita della logica porta inevitabilmente al decadere dell’Arte della Menzogna. Se accettiamo la soluzione proposta, dobbiamo pensare che i bugiardi possano sempre essere raggirati dai loro stessi principi; una situazione che nascerà inevitabilmente ogni volta che il mentire prende la forma di supina aderenza a regole arbitrarie. Anche il fatto che il logico ponga al nativo una domanda così complessa e che si aspetti che quest’ultimo riesca a interpretarla come un condizionale contro-fattuale, sia nel significato sia nella forma, presuppone una profonda conoscenza della logica da parte dell’indigeno. Se il nostro logico porrà la questione con una certa nonchalance, è molto probabile che l’indigeno scambierà il linguaggio contorto per una qualche strana forma di cortesia diffusa presso i logici e si limiterà a rispondere alla domanda: “Questa strada porta al villaggio?”.

D’altra parte, se il logico fisserà deciso e con un sorriso vagamente sadico l’indigeno mentre pone la domanda per sottolinearne il contenuto logico, rivelerà immediatamente il suo scopo, facendo nascere nel nativo l’idea che lo stiano fregando. A questo punto, se l’indigeno è un mentitore degno di questo nome, seguirà una logica di contro-raggiro, visto che il suo scopo ultimo è ingannare il logico. L’analisi delle soluzioni non ambigue porta a un’analisi più precisa della natura della bugia: la definizione tradizionale è che il bugiardo è colui per il quale qualsiasi sua dichiarazione è falsa, ma l’ambiguità di questa definizione emerge nel momento stesso nel quale cerchiamo di definire quale debba essere la risposta a domande aventi funzioni complesse di verità, come ad esempio “È vero che se questa è la strada per il villaggio tu sei un mentitore?”.

Il dubbio, qui, risiede nel fatto che a domande di questo tipo per il mentitore sono possibili due diversi tipi di analisi: potrebbe per prima cosa valutare separatamente le due componenti in modo corretto, valutare quindi la risultante corretta e poi capovolgere il valore logico, oppure potrebbe seguire una via molto più dogmatica mentendo a sé stesso (ossia invertendo il valore logico) per ognuna delle due componenti, valutando quindi la risultante e invertendo il valore nella risposta? Qui, nasce la distinzione tra il bugiardo semplice, che si limita a dire sempre il falso, e il bugiardo onesto, che capovolge il valore logico della verità.
La domanda “
È vero che se questa è la strada per il villaggio tu sei un mentitore?” è una soluzione del problema solo se la tribù dei mentitori è formata da bugiardi onesti, che risponderanno “sì” se la strada indicata è quella corretta e “no” in caso contrario, esattamente come i veritieri. Al contrario, il bugiardo semplice risponderà “no” in entrambi i casi, lasciando il logico nell’incertezza.

Potremmo sostituire l’equivalenza all’implicazione, ottenendo una soluzione che vale sia per il semplice che per l’onesto: alla domanda: “È vero che questa strada porta al villaggio se e solo se tu sei un mentitore?” In questo caso, costringiamo nuovamente entrambi i tipi di mentitori alla risposta corretta. Non possiamo comunque aspettarci che un mentitore capace di identificare la sottigliezza logica di questa domanda sia così semplice da raggirare: dobbiamo quindi considerare il caso del bugiardo artistico, il cui principio base è quello di ingannare sempre e comunque la persona con cui parla: contro un avversario di questo genere, nessun logico ha la possibilità di raggiungere una risposta certa in quanto, se lo scopo finale del mentitore è ingannare, potrà sempre raggirare il logico attraverso una strategia di inganno che aggiri la logica. Si può proporre allora una soluzione generale basata su domande del tipo “Lo sai che al villaggio distribuiscono birra gratis?” In questo caso il veritiero risponderà “No”, e si avvierà verso il villaggio, seguito dal logico; il bugiardo onesto e il bugiardo semplice risponderanno “Sì” e andranno al villaggio, anche in questo caso seguiti dal logico.

Resta da analizzare il comportamento del bugiardo artistico: questi partirà educatamente dal principio che il logico stia cercando di comportarsi come lui, e sceglierà la sua strategia in modo parallelo: avendo due motivazioni opposte, potrebbe dichiarare “Bah! Non mi piace la birra!”, e avviarsi verso il villaggio: ben misera strategia, visto che nessun logico si lascerà ingannare da questo semplice trucco, quindi il bugiardo artistico sceglierà un’altra strada (in tutti i sensi): dopo la dichiarazione di disamore per la birra, imboccherà la strada sbagliata, seguito dal logico convinto di averla avuta vinta anche stavolta in questo modo il bugiardo artisticoraggiungerà una vittoria tecnica, anche se il logico potrebbe sempre sostenere di aver raggiunto una vittoria morale, lasciando il bugiardo nel cocente sospetto di aver perso l’occasione per una bevuta gratuita.

Bene, lasciamo le nostre tipologie di bugiardi e vediamo una graziosa complicazione del problema, attribuita all’astronomo Dennis Sciama: supponiamo che il nostro logico conosca la lingua parlata dagli indigeni e ricordi che “sì” e “no” si dicono “ciff” e “pluff“, ma non si ricordi quale dei due termini corrisponda a “sì” (e viceversa, ovvio). In questo caso, come può arrivare al villaggio?

Fonte: RudiMatematici